√ Perkalian Vektor: Produk Skalar / Perkalian Titik, Silang Dan Eksklusif – Bersama Referensi Soal Dan Jawaban

Perkalian Vektor

Perkalian Vektor yaitu operasi perkalian dengan dua operand (objek yang dikalikan) berupa vektor. Tetapi hasil operasi ini tidak selalu yaitu vektor. Terdapat 3 macam perkalian vektor, yaitu produk skalar atau perkalian titik (bahasa Inggris: dot product atau scalar product, perkalian silang (bahasa Inggris: cross product atau vector product atau directed area product) dan perkalian langsung (bahasa Inggris: direct product).

 

Produk Skalar Vektor atau Perkalian Titik

Produk skalar (atau “perkalian titik”) dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang dipakai dalam perkalian titik, yaitu

dan

Atau sanggup pula dituliskan dengan memakai notasi delta Kronecker , yaitu

 

Perkalian Silang Vektor

Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor yaitu juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.

Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula korelasi yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

dan

 

Perkalian eksklusif Vektor

Hasil perkalian eksklusif dua buah vektor yaitu sebuah tensor atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.

Perkalian eksklusif dua buah vektor satuan tidak mempunyai korelasi yang khusus.

 

---

 

Produk Skalar / Perkalian Titik

Definisi berdasarkan aljabar

Produk skalar dua vektor A = [A₁, A₂, …, A_n] dan B = [B₁, B₂, …, B_n] didefinisikan sebagai:

di mana Σ melambangkan summation notation dan n adalah dimensi ruang vektor. Misalnya, dalam ruang tiga dimensi, produk skalar vektor-vektor [1, 3, −5] dan [4, −2, −1] adalah:

 

Definisi berdasarkan geometri

Dalam ruang Euclidean , suatu vektor Euclidean adalah sebuah objek geometri yang mempunyai baik besaran (magnitude) dan arah (direction). Sebuah vektor sanggup digambarkan ibarat sebuah anak panah. Besarannya yaitu panjangnya, sedangkan arahnya yaitu yang ditunjuk oleh ujung panah. Besaran vektor A dilambangkan dengan . Produk skalar dua vektor Euclidean A dan B didefinisikan sebagai:

di mana θ adalah sudut di antara A dan B.

Secara khusus, jika A dan B adalah ortogonal, maka sudut di antara keduanya yaitu 90° dan

Pada keadaan ekstrem lain, kalau kedua vektor itu mempunyai arah yang sama (codirectional), maka sudut di antara keduanya yaitu 0° dan

Ini menyiratkan bahwa produk skalar suatu vektor A dengan dirinya sendiri adalah

yang menghasilkan

rumus untuk panjang Euclidean vektor itu.

 

Sifat Produk Skalar / Perkalian Titik

Produk skalar memenuhi sifat-sifat berikut jika a, b, dan c adalah vektorreal dan r adalah suatu bilangan skalar.

1. Komutatif:
   

   
   

   

   
   

   which follows from the definition (θ is the angle between a and b):

   
   

   

   
   

   
   


2. Distributif over vector addition:
   

   
   

   

   
   

   
   


3. Bilinear:
   

   
   

   

   
   

   
   


4. Perkalian skalar:
   

   
   

   

   
   

   
   


5. Ortogonal:
   

   
   

   Dua vektor bukan-nol a dan b adalah ortogonal jika dan hanya jika a ⋅ b = 0.

   
   

   
   


6. Tidak ada cancellation:
   

   
   

   Berbeda dengan perkalian angka biasa, di mana jika ab = ac, maka b selalu sama dengan c kecuali a sama dengan nol, produk skalar tidak menuruti cancellation law:

   
   

   Jika a ⋅ b = a ⋅ c dan a ≠ 0, maka sanggup ditulis: a ⋅ (b − c) = 0 dengan hukum distributif; hasil di atas menyampaikan bahwa ini hanya berarti a tegak lurus dengan (b − c), di mana masih mengizinkan (b − c) ≠ 0, sehingga b ≠ c.

   
   

   
   


7. Product Rule: Jika a dan b adalah suatu fungsi, maka turunan (dilambangkan oleh tanda prime ′) dari a ⋅ b adalah a′ ⋅ b + a ⋅ b′.

 

---

 

Posisi vektor

 

Panjang vektor

Berada di 

Panjang vektor a dalam posisi  adalah 

Panjang vektor b dalam posisi  adalah 

Panjang vektor c dalam posisi  dan  adalah 

Berada di {\displaystyle R^{3}}

Panjang vektor a dalam posisi  adalah 

Panjang vektor b dalam posisi  adalah 

Panjang vektor c dalam posisi  dan  adalah 

 

Vektor satuan

 

Operasi aljabar pada vektor

• Penjumlahan dan pengurangan

terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang

• Perkalian

1. skalar dengan vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor  maka vektor 

1. titik dua vektor

Jika vektor  dan vektor  maka 

1. titik dua vektor dengan membentuk sudut

Jika  dan  vektor tak nol dan sudut  diantara vektor  dan  maka perkalian skalar vektor  dan  adalah  = 

1. silang dua vektor

Jika vektor  dan vektor  maka 

Sifat operasi aljabar pada vektor

1. 


2. 


3. 


4. 


5. 


6. 


7. 


8. 


9. 


10. 


11. 


12. 


13. 


14. 


15. 


16. 


17. 


18. 

 

Hubungan vektor dengan vektor lain

• Perkalian titik

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor  dengan vektor  maka

Sejajar

Jika vektor  sejajar dengan vektor  maka

• Perkalian silang

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor  dengan vektor  maka

Jika  maka dua vektor tersebut searah

Jika  maka vektor saling berlawanan arah

Sejajar

Jika vektor  sejajar dengan vektor  maka

Sudut dua vektor

Jika vektor  dan vektor  sudut yang sanggup dibuat dari kedua vektor tersebut adalah 

Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

Panjang proyeksi vektor  pada vektor  adalah 

Proyeksi vektor  pada vektor  adalah 

Perbandingan

Aturan jajar genjang

Posisi vektor

Berada di 

Berada di 

Satu garis

Perbandingan posisi dalam yaitu m:n

Perbandingan posisi luar yaitu m:-n

 

---

 

Contoh Soal dan Jawaban Perkalian Vektor

Dua buah vektor pangkalnya saling bertemu membentuk sudut 60°, vektor A panjangnya 60 cm sedangkan vektor B panjangnya 40 cm. Berapa nilai perkalian titik (dot) dan perkalian silang (cross) kedua vektor tersebut?

 

Jawaban:

Perkalian titik, yaitu

Perkalian silang, yaitu

 

 

 

Sebuah hasil perkalian vektor diperoleh bahwa A.B = 40 meterpersegi. Jika besar vektor B yang panjangnya 4 meter membentuk sudut 60°. Berapa panjang vektor A dalam centimeter?

Jawaban:

Dengan memakai rumus perkalian titik (dot product), maka diperoleh perhitungan sebagai berikut.

 

 

Dua buah vektor A dan B pangkalnya membentuk sudut 60°. Jika A = 2 Bdan A.B=400 meterpersegi. Maka berapa besar vektor A dan B?

Jawaban:

Setelah besar vektor B diketahui, maka A = 2.20 = 40 meter.

 

 

Vektor A memiliki panjang sebesar 10 cm sedangkan vektor B memiliki panjang sebesar 20 cm. Keduanya mempunyai pangkal yang membentuk sudut a. Jika A x B besarnya 1 meterpersegi, berapa besar sudut a?

Jawaban:

Terlebih dahulu kita samakan satuannya, A x B = 1 meter = 100 centimeterpersegi. Kemudian dengan memakai rumus perkalian silang, kita peroleh…

 

 

Bacaan Lainnya Yang Dapat Membuat Anda lebih Pintar

• Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini


• 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Praktis Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!


• Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?


• Penyakit yang sanggup dicegah dengan vaksin – Wajib diketahui


• Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia


• Tempat Wisata Yang Wajib Dikunjungi Di Indonesia Dan Luar Negri


• Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?


• Bentuk Kaki Menandakan Karakter Anda – Bentuk Kaki nomer berapa yang Anda miliki?

 

Tentang Matematika

• Rumus Vektor Spasial Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya


• Induksi Matematika Rumus, Pembuktian, Deret, Keterbagian, Pertidaksamaan, Soal, Pembahasan dan Jawaban


• Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya


• Tes Matematika Deret Angka Untuk Yang Pintar – Tomat, Timun Dan Paprika


• Tes Matematika “Otak Atik Otak” Jumlah nomor yang harus didapatkan: 50 & Nomor yang diberikan: 2 8 9 15 20 40


• Tes Matematika Pengukuran Berat: Sebuah botol & tutupnya berberat 110g. Berat botol 100g lebih berat daripada tutupnya. Berapa berat tutupnya?


• Matematika Jika 2=6, 3=15, 4=24, 5=35, 6=48 Makara 7=??


• Tes Matematika Pemecahan Masalah Logika Visual Psikotes Roda Gigi X – Beserta Rumus, Soal & Jawaban Untuk Menghitung Panjang Lintasan Roda


• Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya


• Soal Rumus Kimia Hidrat (Air Kristal) Dan Jawabannya

 

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons “Ohh begitu ya…” akan sering terdengar kalau Anda memasang applikasi kita! Siapa bilang mau pandai harus bayar? Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang menciptakan Anda menjadi lebih smart!

• HP Android


• HP iOS (Apple)

Sumber bacaan: Math is Fun

                       

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz | Matematika | IPA | Geografi & Sejarah | Info Unik | Lainnya

Sumber aciknadzirah.blogspot.com